高等数学
定义性问题
可微 (Differentiable)
对于多元函数 $ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $，在点 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ 处可微意味着存在一个线性变换 $ L $ 使得： \(\lim_{\mathbf{h} \to 0} \frac{\| f(\mathbf{a} + \mathbf{h}) - f(\mathbf{a}) - L(\mathbf{h}) \|}{\|\mathbf{h}\|} = 0\) 这个线性变换 $ L $ 通常是由偏导数组成的梯度向量 $\nabla f(\mathbf{a})$。
对于函数 $f(x,y,z)$ ，即 \(d f(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz\) 存在
可导 (Derivable)
多元函数 $ f $ 在点 $\mathbf{a}$ 处可导通常指存在偏导数，即对每个 $ i $， \(\frac{\partial f}{\partial x_i} (\mathbf{a})\) 存在。
连续 (Continuous)
多元函数 $ f $ 在点 $\mathbf{a}$ 处是连续的，如果： \(\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a})\) 即当 $\mathbf{x}$ 趋近于 $\mathbf{a}$ 时，函数值 $ f(\mathbf{x}) $ 趋近于 $ f(\mathbf{a}) $。
极限存在 (Limit Exists)
多元函数 $ f $ 在点 $\mathbf{a}$ 处的极限存在是指： \(\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{a}} f(\mathbf{x}) = L\) 如果这样的 $ L $ 存在，则称 $ f $ 在 $\mathbf{a}$ 处的极限存在。
可积 (Integrable)
对于多元函数 $ f $，在某个区域 $ D $ 上可积通常指该函数的重积分存在。即： \(\int_D f(\mathbf{x}) \, d\mathbf{x}\) 是有限值。