积分

不定积分

换元

各种方法的最终目的是为了能将积分式转换为逆运算可以处理的情形 由 $dg(x) = g’(x)$ 有 \(I= \int f(x)g'(x) dx = \int f(x) dg(x)\)

换元本质上只是将一个结构当作整体进行处理

预期微分式的未积分部分能匹配微元的逆运算

恒等转换

将看起来不可逆运算微分式转换未可以进行逆运算的形式，是积分的基础方法

存在某些特殊结构可能导致此步骤需要尝试额外的公式 如满足 $f’(x) = g(x) f(x)$ 的关系的式子在恒等变换时需要 $g(x) = g(x)f(x)/f(x)$ \((\sec x +\tan x)' = \sec x (\sec x +\tan x)\\ (\csc x + \cot x)' = - \csc x (\csc x + \cot x)\\ (\csc x - \cot x)' = \csc x (\csc x - \cot x)\)

三角函数变换

见三角函数

整体换元

\(I= \int f(g(x)) dx\) 令 $g(x) = t$ 有 \(\begin{align*} I =& \int f(t) d(g^{-1}(t))\\ =& \int f(t)(g^{-1}(x))'dt \end{align*}\) 计算完成后将得到 $I = T(t)$ 将换元置回得到 $I = T(g(x))$

这是非常规积分变换的主要方法，也是最灵活多变的

特征项换元

将多次出现的特殊结构进行换元，以揭示积分的原始形态

有理换元

即将无理因式直接设为一个变量，从而提高式子的阶数，消除无理式变为有理式。

有理换元时无理因式中的$x$必须是一阶的，如$\sqrt[3]{x+6}=u$，若是二阶需要利用第二类换元（三角换元），否则则无法消去无理因式项，因为$x$不能用单个的$u$来表示（换元要求具有反函数），如$\sqrt{x^3+6}=u$。

若式子是一个因式的整数次幂，则可以直接令这个因式为中间变量。

当无理式子是一个分式或其他复杂形式，既可以令其整个都是中间变量，也可以先化简，但是不能将无理式子拆开，否则有理换元就无用了。

三角换元

当积分式子中存在$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$这种反三角函数时，可以考虑将其令为$t$来进行简化计算。从而$x$分别为$\sin t$、$\cos t$、$\tan t$。

指对换元

当积分式子存在指数函数$e^x$或对数函数$\ln x$时，可以考虑令其为$t$，从而$x$分别为$\ln t$和$e^t$。

但是如果$\ln x$、$\arctan x$、$\arcsin x$与$x$多项式或$e^x$做乘法时要考虑分布积分法。

二类换元

换元要求具有反函数，当换元目标不满足这个条件时，需要将其进行区间划分。

$\sqrt{a^2-x^2}$：$x=a\sin t(a\cos t)$

若令$x=a\sin t$，则根据$\sin t\in(-1,1)$得到主区间：$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$。

若令$x=a\cos t$，则根据$\cos t\in(-1,1)$，得到主区间：$t\in(0,\pi)$。

$\sqrt{a^2+x^2}$：$x=a\tan t$

根据$\tan t\in R$，从而得到主空间：$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$。

$\sqrt{x^2-a^2}$：$x=a\sec t$

根据$\sec t\in(-1,1)$，所以从而得到主空间：$t\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$。\medskip

对称结构辅助积分

如果积分的结构存在某种对称性，考虑使用这种方法

如 \(I_1 = \displaystyle{\int\dfrac{\cos t}{\sin t+\cos t}\textrm{d}t}\) 考虑其辅助积分为 \(I_2 = \displaystyle{\int\dfrac{\sin t}{\sin t+\cos t}\textrm{d}t}\)

$I_1+I_2=\displaystyle{\int\dfrac{\sin t+\cos t}{\sin t+\cos t}\textrm{d}t=\int\textrm{d}t=t}$。

$I_1-I_2=\displaystyle{\int\dfrac{\cos t-\sin t}{\sin t+\cos t}\textrm{d}t=\int\dfrac{\textrm{d}(\sin t+\cos t)}{\sin t+\cos t}}=\ln\vert\sin t+\cos t\vert +C$。

部分积分

由 $duv = udv + vdu$ 有

\(udv = duv - vdu\\ \int udv = uv - \int vdu\\\) (相乘-微分交换)

部分积分的原则

函数积分难度为：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。越往右求导越难，左边更应该当$u$进行求导，而右边更适合做$v$进行积分。

当幂函数与一些微分后能降低幂函数幂次的函数在一起时，先对非幂函数优先分部积分，结果与幂函数相乘可以消去幂次，以达到降低幂次的作用。

如$\int x^n\ln x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arctan x\,\textrm{d}x$，$\int x^n\arcsin x\,\textrm{d}x$。

当幂函数与三角函数在一起微分时，因为三角函数无论如何积分都不会被消去，所以应该优先消去幂函数部分，从而降低幂次。

如$\int x^a\sin x\,\textrm{d}x$，$\int x^a\cos x\,\textrm{d}x$。

多次分部

对于一部分通过微分形式不会发生变化的函数，所以需要多次积分，然后利用等式求出目标值。即三角函数和指数函数，这两种积分形式不变，指数函数一次积分保持不变，而三角函数两次积分保持不变。

可能出现的情况

\[I_0 = C_1 - I_0 \to I_0 = \dfrac{C_1}{2}\] \[\begin{align*} I_0 = C_1 - I_1\\ I_1 = C_2 - I_0 \end{align*} \to I_0 = \dfrac{C_1 - C_2}{2}\] \[\begin{align*} I_0 = C_1 - I_1\\ I_1 = C_2 - I_2\\ I_2 = C_3 - I_3\\ I_3 = C_4 - I_2\\ \end{align*} \to I_2 = \dfrac{C_3 - C_4}{2}\]

分部积分推广公式

分部积分法可以直接利用表格简便计算，特别是积分式子中含有$f(x)$这种不定的因子。

如何得到分部积分推广公式？以三次导数的积分为例：

$\int uv’’’\,\textrm{d}x=\int u\,\textrm{d}(v’’)=uv’’-\int v’‘u’\,\textrm{d}x$

$\int u’v’’\,\textrm{d}x=\int u’\,\textrm{d}(v’)=u’v’-\int v’u’’\,\textrm{d}x$

$\int u’‘v’\,\textrm{d}x=\int u’’\,\textrm{d}v=u’‘v-\int vu’’’\,\textrm{d}x$

$\therefore\int uv’’’\,\textrm{d}x=uv’‘-u’v’+u’‘v-\int u’'’v\,\textrm{d}x$。

所以分部积分法找到对应的规律，表格上求导，下积分 \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 符号 & + & - & + & \cdots & (-1)^{n+1} \\ \hline u的各阶导数 & u & u' & u'' & \cdots & u^{n+1} \\ \hline v^{(n+1)}的各阶原函数 & v^{(n+1)} & v^{(n)} & v^{(n-1)} & \cdots & v \\ \hline \end{array}\)

以$u$为起点左上右下错位相乘，各项符号正负交错，直到$uv$的导阶数相同，最后一项是$(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v\,\textrm{d}x$，只要这最后一项可以解出来就可以停止了，即上下是同一类的函数或幂函数求导成0。

$u$定为求导能被消去的函数，$v$定微分形式不变的函数。

例题：求$\int(x^3+2x+6)e^{2x}\,\textrm{d}x$。

解：如果要一般求，则需要拆分：

$\int(x^3+2x+6)e^{2x}\,\textrm{d}x=\int x^3e^{2x}\,\textrm{d}x+2\int xe^{2x}\,\textrm{d}x+6\int e^2x\,\textrm{d}x$。 \(\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x^3+2x+6 & 3x^2+2 & 6x & 6 & 0 \\ \hline e^{2x} & \dfrac{1}{2}e^{2x} & \dfrac{1}{4}e^{2x} & \dfrac{1}{8}e^{2x} & \dfrac{1}{16}e^{2x} \\ \hline \end{array}\)

$\therefore=(x^3+2x+6)\left(\dfrac{1}{2}e^{2x}\right)-(3x^2+2)\left(\dfrac{1}{4}e^{2x}\right)+6x\left(\dfrac{1}{8}e^{2x}\right)-6\left(\dfrac{1}{16}e^{2x}\right)+\displaystyle{(-1)^{3+1}\cdot\int0\cdot(\dfrac{1}{16}e^{2x})\,\textrm{d}x}=\left(\dfrac{1}{2}x^3-\dfrac{3}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x+\dfrac{17}{8}\right)e^{2x}+C$。

有理函数

1. 高阶多项式分配

当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数高于或等于$g(x)$，则$f(x)$可以按照$g(x)$的形式分配，约去式子，得到最简单的表达。

2. 低阶多项式分解

当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数低于$g(x)$，且$g(x)$可以因式分解为$g(x)=g_1(x)g_2(x)\cdots$时，先因式分解再进行运算。

有理积分的拆项是最小项的最高次数不超过2。所以具体的分解基本原理：

1. 一次单项式 $ax+b$ 产生一项 $\dfrac{A}{ax+b}$。
2. $k$ 重一次因式 $(ax+b)^k$ 产生 $k$ 项：$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+\cdots+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}$。
3. 二次因式 $px^2+qx+r$ 产生一项：$\dfrac{Ax+B}{px^2+qx+r}$。
4. $k$ 重二次因式 $(px^2+qx+r)^k$ 产生 $k$ 项：$\dfrac{A_1x+B_1}{px^2+qx+r}+\cdots+\dfrac{A_nx+B_n}{(px^2+qx+r)^k}$。

3. 低阶多项式分配

当不定积分式子形如$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x}$，且$f(x)$、$g(x)$都为与$x$相关的多项式，$f(x)$阶数低于$g(x)$，且$g(x)$不能因式分解为$g(x)=g_1(x)g_2(x)\cdots$时，则可以分配式子：$\displaystyle{\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,\textrm{d}x=a_1\int\dfrac{\textrm{d}(f_1(x))}{g_1(x)}+a_2\int\dfrac{\textrm{d}(f_2(x))}{g_2(x)}}+\cdots$，将积分式子组合成积分结果为分式的函数，如$\ln x$、$\arcsin x$、$\arctan x$等。

例题：求$\displaystyle{\int\dfrac{x-1}{x^2+2x+3}\textrm{d}x}$。

解：因为$x^2+2x+3$不能因式分解，所以考虑将分子按照分母形式进行分配。优先对高阶的$x$进行分配。

首先因为分子最高阶为$x$只比分母最高阶$x^2$低一阶，所以考虑将$x-1$分配到微分号内。

$\because\textrm{d}(x^2+2x+3)=2x+2$，而现在是$x-1$，所以：

$=\displaystyle{\dfrac{1}{2}\int\dfrac{2x+2}{x^2+2x+3}\textrm{d}x-2\int\dfrac{1}{x^2+2x+3}\textrm{d}x}=\displaystyle{\dfrac{1}{2}\int\dfrac{\textrm{d}(x^2+2x+3)}{x^2+2x+3}}$

$-\displaystyle{\int\dfrac{1}{\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2+1}\textrm{d}x}=\displaystyle{\dfrac{1}{2}\ln(x^2x+3)-\sqrt{2}\int\dfrac{\textrm{d}\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)}{\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}\right)^2+1}}$

$=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+3)-\sqrt{2}\arctan\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}+C$。

以上方法可以组合使用，优先高阶分配，再进行低阶的分解/分配

定积分

换元

与不定积分类似，但可以直接对积分限进行变换，而不需要置回。 对于 \(I= \int_{a}^{b} f(g(x)) dx\)

令 $g(x) = t ,\quad x = g^{-1}(t)$ 有 \(\begin{align*} I =& \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) d(g^{-1}(t))\\ =& \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)(g^{-1}(x))'dt \end{align*}\) （注意上下限由 $x$ 的范围转换为 $t$ 的范围）

部分积分

与不定积分类似

\[\int_{a}^{b} udv = uv \big|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} vdu \\\]

极限化为定积分

若极限中有 $n$ 这种变量，也可以通过定积分的定义来做，$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^nf\left(\dfrac{i}{n}\right)\dfrac{1}{n}=\int_1^0f(x)\,\textrm{d}x$。

步骤

1. 先提出 $\dfrac{1}{n}$。
2. 凑出 $\dfrac{i}{n}$。
3. 写出 $\int_0^1f(x)\,\textrm{d}x$，其中 $\dfrac{1}{n}$ 没有了，将所有 $\dfrac{i}{n}$ 换为 $x$。
4. 将 $n$ 消去，如将 $n$ 极限归为1。

区间再现

若函数$f(x)$为连续函数，则$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\int_a^bf(a+b-x)\,\textrm{d}x$。区间再现本质是一种换元法，但是实际上是显式地根据函数周期移动$x$的范围，求出另一种形式，再结合一起解出。这种方法类似多次分部积分求出两边同一个形式的不定积分然后相减的方法。

常见于三角函数

todo

变限积分

对定限积分求导公式：$(\int_a^xf(t)\,\textrm{d}t)’=f(x)$。

积分性质

可以使用积分性质来对积分进行简化，如奇偶性（奇函数积分为0，偶函数积分为双倍；原函数为偶函数，积分$C=0$时为奇函数，原函数为奇函数，积分为偶函数）、周期性（区间减去周期积分值不变）。

周期性

当积分为变限积分时，若函数为周期函数，区间长度为周期，可以直接把区间的变量$x$减掉，变成定积分。

应用

几何

面积

面积微元

1. 直角坐标 $dx\,dy$
2. 极坐标 $r\,dr\,d\theta$

弧长

1. 直角坐标 $dl = \sqrt{dx^2 + dy^2}$
2. 极坐标 $dl = \sqrt{(r\,d\theta)^2 + dr^2}$

关系式

中值定理

\[\int_a^b f(x)\,\textrm{d}x = F(b)-F(a) = f(\xi)(b-a)\\ \xi\in[a,b]\]