极限的计算方法
四则运算
只有式子的极限各自存在才能使用四则运算，使用的频率较少。
如果式子的两项都存在极限，可假设两项的极限存在并计算出极限
重要极限
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x=e$
此式的重点在于其利用指数项转换和等价无穷小进行计算
\[\begin{align*} &\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\\ =&\lim\limits_{x\to\infty} e^{x\ln(1+\dfrac{1}{x})}\\ =&\lim\limits_{x\to\infty} e^{\frac{x}{x}}\\ =&e \end{align*}\]导数定义
利用导数的定义进行计算，此种题目往往需要对元式进行变换，或寻找合适的$f(x)$得出$f’(x)$
\[f'(x)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]等价无穷小替换
当看到复杂的式子，且不论要求的极限值的趋向，而只要替换的式子是$\Delta\to 0$时的无穷小，就使用等价无穷小进行替换。
注意：替换的必然是整个求极限的乘或除的因子，一般加减法与部分的因子不能进行等价无穷小替换。如果是判断等价无穷小的阶数则可以，因为只会相差一个更高阶的无穷小，不影响整体。
对于无法直接得出变换式子的，可以对对应参数进行凑，以达到目标的可替换的等价无穷小。
夹逼准则
夹逼准则可以用来证明不等式也可以用来计算极限。但是最重要的是找到能夹住目标式子的两个式子。
例题：求极限$\lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]$，其中$[\cdot]$为取整符号。 解：取整函数公式：$x-1<[x]\leqslant x$，所以$\dfrac{10}{x}-1<\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant\dfrac{10}{x}$。 当$x>0$时，$x\to 0^+$，两边都乘以10，$10-x<x\cdot\left[\dfrac{10}{x}\right]\leqslant x\cdots\dfrac{10}{x}=10$，而左边在$x\to 0^+$时极限也为10，所以夹逼准则，中间$x\cdot\left[\dfrac{10}{x}\right]$极限也为10。 当$x>0$时，$x\to 0^-$，同样也是夹逼准则得到极限为10。 因此，$\lim\limits_{x\to 0}x\left[\dfrac{10}{x}\right]=10$。
拉格朗日中值定理
\[\begin{align*} &f(x) \text{ is continuous on } [a,b]\\ &f'(x) \text{ is differentiable on } (a,b)\\ &\exists \epsilon \in (a,b)\\ &f(b) - f(a) = f'(\epsilon)(b-a)\\ &\Rightarrow\\ & f(a)-f(b) \in [\min{f'(\epsilon)}(b-a),\max{f'(\epsilon)}(b-a)] \end{align*}\]对于形如$f(a)-f(b)$的极限式子就可以使用拉格朗日中值定理，这个$f(x)$为任意的函数。使用拉格朗日中值定理最重要的还是找到这个$f(x)$。
可以将极限式子中形如$f(a)-f(b)$的极限部分使用拉格朗日中值定理进行替换，即将同个$f(x)$的差值变为$x$的差值。
对于已知函数某一点的情况，可使用此来证明不等式
极限运算法则
数列极限
若$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$，$\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$则：
- $\lim\limits_{n\to\infty}x_n\pm y_n=a\pm b$。
- $\lim\limits_{n\to\infty}(x_ny_n)=\lim\limits_{n\to\infty}x_n\lim\limits_{n\to\infty}y_n=ab$（$b\neq 0$）。
- $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{\lim\limits_{n\to\infty}x_n}{\lim\limits_{n\to\infty}y_n}=\dfrac{a}{b}(b\neq 0)$。
函数极限
若$\lim f(x)=A$，$\lim g(x)=B$（即两个极限都存在），则
- $\lim[k\cdot f(x)\pm l\cdot g(x)]=k\lim f(x)\pm l\cdot g(x)=kA\pm lB$，其中$kl$为常数。
- $\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B$
- $\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n$，其中$n$为正整数。
- $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\dfrac{A}{B}(B\neq 0)$。
- $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_1x+b_0}=\left{ \begin{array}{lcl} \dfrac{a_n}{b_m}, & & n=m
0, & & n<m
\infty, & & n>m \end{array} \right.$ - 若$f(x)\geqslant g(x)$，则$A\geqslant B$。
- 若$y=f[g(x)]$由$y=f(u)$与$u=g(x)$复合而成，且$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=u_0$且$\lim\limits_{u\to u_0}f(u)=a$，当$x\in\mathring{U}(x_0,\delta_0)$时，$g(x)\neq u_0$，则$\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=a$。 对于结论7必须注意$g(x)\neq u_0$。
存在与不存在运算关系
- 存在与不存在的和差一定为不存在。
- 不存在与不存在的和差不一定存在，如$\sin\dfrac{1}{x}+\sin\dfrac{1}{x}$与$\sin\dfrac{1}{x}+\left(-\sin\dfrac{1}{x}\right)$。
- 存在与不存在的乘积不一定存在，如$x\sin\dfrac{1}{x}$与$1\cdot\sin\dfrac{1}{x}$。
- 不存在与不存在的乘积不一定存在，如$\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{x}$与$(-1)^n\cdot(-1)^n$。
$o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=\min{m,n}$（加减法低阶吸收高阶）。 $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$（乘法累加）。 $o(x^m)=o(k\cdot x^m)=k\cdot o(x^m)$，$k\neq 0$且为常数（非零常数相乘不影响阶数）。
洛必达法则用于计算无穷的比值的极限，如$\dfrac{0}{0}$型和$\dfrac{\infty}{\infty}$型，如果趋向不同则不能使用。
麦克劳林公式
\[e^x=\sum\limits_{i=0}^n\dfrac{1}{i!}x^i=1+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+o(x^3)\] \[\ln(1+x)=\sum\limits_{i=1}^n(-1)^{i+1}\dfrac{1}{i}x^i=x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3+o(x^3)\] \[\sin x=\sum\limits_{i=1}^{2i-1}(-1)^{2i-1}\dfrac{1}{(2i-1)!}x^{2i-1}=x-\dfrac{1}{3!}x^3+\dfrac{1}{5!}x^5+o(x^5)\] \[\cos x=\sum\limits_{i=1}^{2i}(-1)^{2i-1}\dfrac{1}{(2i-2)!}x^{2i-2}=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+o(x^4)\]\(\arcsin x=\sum\limits_{i=1}^{2i-1}\dfrac{(2i-3)!!}{(2i-2)!!}\dfrac{x^{2i-1}}{2i-1} =x+\dfrac{1}{2}\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{1\times 3}{2\times 4}\dfrac{x^5}{5}+\dfrac{1\times 3\times 5}{2\times 4\times 6}\dfrac{x^7}{7}+o(x^7)\)（假定$-1!=0!$）
\[\dfrac{1}{1-x}=\sum\limits_{i=0}^nx^i=1+x+x^2+x^3+o(x^3)\] \[(1+x)^a=1+\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\prod_{j=1}^i(a-j+1)}{i!}x^i=1+\dfrac{a}{1!}x+\dfrac{a(a-1)}{2!}x^2\\+\dfrac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+o(x^3)\]常用等价无穷小
定理：
若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，则$\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta}=\lim\dfrac{\alpha}{\beta_1}=\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta_1}$。
因此，可以利用等价无穷小替换对应的式子。等价无穷小是通过泰勒展开得到的，它们只是泰勒公式在某个固定阶数（通常为一阶）上的特例。
通过麦克劳林公式可以得到当$x\to 0$时的相应等价无穷小：
- $x\sim\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim\ln(x+\sqrt{1+x^2})\sim e^x-1$。
- $a^x-1\sim x\ln a$。
- $(1+x)^a-1\sim ax$。
- $\log_a(1+x)\sim\dfrac{x}{\ln a}$。
- $1-\cos x\sim\dfrac{1}{2}x^2$。
- $x-\ln(1+x)\sim\dfrac{1}{2}x^2$。
- $x-\sin x\sim\dfrac{1}{6}x^3$。
- $\arcsin x-x\sim\dfrac{1}{6}x^3$。
- $\tan x-x\sim\dfrac{1}{3}x^3$。
- $x-\arctan x\sim\dfrac{1}{3}x^3$。
- $\tan x-\sin x\sim\dfrac{1}{2}x^3$
等价无穷小适用性
如果是乘除关系可以随便换，但是加减关系需要一定条件：
- 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且$\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta 1}=A\neq1$，则$\alpha-\beta\sim\alpha_1-\beta_1$。
- 若$\alpha\sim\alpha_1$，$\beta\sim\beta_1$，且$\lim\dfrac{\alpha_1}{\beta 1}=A\neq-1$，则$\alpha+\beta\sim\alpha_1+\beta_1$。
即这两个和不能为0。