恒等变换
这里专门记录一些比较特别的恒等变换技巧
常用的恒等变换式子
逆函数
\[h(x) = g(f(x))\\ x = f^{-1} \circ g^{-1} \circ g \circ f(x)\\ h^{-1}(x) = f^{-1}(g^{-1}(x))\\\]代数
特别注意 \(\sqrt{x^2} = (x^2)^{1/2} = |x|\)
反三角函数相关
\[\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2} - x} = \sqrt{1+x^2} + x\] \[\dfrac{1}{x - \sqrt{x^2 - 1}} = \sqrt{x^2 - 1} + x\] \[(e^{x} + e^{-x})^2 = e^{2x} + e^{-2x} + 2\\ (e^{x} - e^{-x})^2 = e^{2x} - e^{-2x} + 2\]特殊
\[(y^2-y^{-2})^2 = y^4 + y^{-4} -2 = (y^2+y^{-2})^2 - 4\]拆分相关
\[\dfrac{x^2}{1-x^2} = \dfrac{1}{2(1-x)} + \dfrac{1}{2(1+x)} -1\]代数恒等式
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) \((ab)^2 = a^2 b^2\) \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) \((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\) \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\) \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\) \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) \((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\) \(a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2\) \(a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)\) \((a^2 + b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4\) \((a + b + c)(a + b - c) = a^2 + 2ab + b^2 - c^2\) \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)\)