常规微分方程
这一部分的求解方法都是将各种形式的方程转化为可分离变量的微分方程
可分离变量的微分方程
\[f(x) dx = g(y) dy\]对两侧求积分，可以得到
\[\int f(x) dx = \int g(y) dy + C\]常量 $C$ 需要通过给定的点进行求解
齐次微分方程
微分方程可转换为以下形式
\[\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})\]将 $\frac{y}{x}$ 换元为 $u$
有
\[\begin{align*} y =& ux\\ \dfrac{dy}{dx} =& x\frac{du}{dx} + u \end{align*}\]原式子转换为
\[x\frac{du}{dx} + u = f(u)\]进而完成变量分离
\[\dfrac{du}{f(u)-u} = \dfrac{dx}{x}\]一阶线性微分方程
\[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\]采用常数变易法转化进行变量分离
求解其其次解 \(\begin{align*} \frac{dy}{dx} + P(x)y =& 0\\ \frac{dy}{y} =& -P(x)dx\\ \int \frac{dy}{y} =& - \int P(x)dx\\ \ln y =& -\int P(x)dx \end{align*}\)
\[\tilde{y} = C e^{-\int P(x)dx}\]将常数 $C$ 代换为 $\varphi(x)$ 有 $y=\varphi(x)e^{-\int P(x)dx} $ 带回微分方程中，得到
\[\begin{align*} &\varphi'(x)e^{-\int P(x)dx} + \varphi(x) e^{-\int P(x)dx}(-P(x)) + P(x)\varphi(x)e^{-\int P(x)dx}\\ =& \varphi'(x)e^{-\int P(x)dx} = Q(x) \end{align*}\]有
\[\begin{align*} \varphi'(x) =& Q(x)e^{\int P(x)dx}\\ \varphi(x) =& \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx \end{align*}\] \[\begin{align*} y =& \varphi(x)e^{-\int P(x)dx}\\ =& \begin{bmatrix*} \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx \end{bmatrix*} e^{-\int P(x)dx} \end{align*}\]note: 对于一阶线性方程 $\displaystyle{\int\dfrac{1}{x}\textrm{d}x}=\ln\vert x\vert=\ln x$
伯努利方程
\[\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n\]伯努利方程可通过 $z = y^{1-n}$ 的换元转换为一阶线性微分方程
\[y^{-n} \frac{dy}{dx} + P(x)y^{1-n} = Q(x)\] \[\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\\ \Rightarrow\\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-n} \frac{dz}{dx}\] \[\frac{1}{1-n} \frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)\\\]得到一阶线性微分方程
\[\frac{dz}{dx} + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)\]可降阶的高阶微分方程
\[y^{(n)}=f(x)\]进行连续积分得到 $y = f^{(-n)}(x)$
\[y''=f(y,y')\]特点：无 $y$ 无 $x$
$y’=p$
$y’‘=p’=\dfrac{\textrm{d}p}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}p}{\textrm{d}y}\cdot\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=p\dfrac{\textrm{d}p}{\textrm{d}y}=f(y,p)$
高阶线性微分方程
高阶微分方程有特定的解的结构
二阶微分方程
二阶变系数线性微分方程 \(y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)\)
其中$P(x)$，$Q(x)$为系数函数，$f(x)$为自由项，都是已知的连续方程
齐次方程：$f(x)\equiv0$时，$y’‘+P(x)y’+Q(x)y=0$
非齐次方程：当$f(x)$不恒为0时，$y’‘+P(x)y’+Q(x)y=f(x)$
二阶常系数线性微分方程：方程 $y’‘+py’+qy=f(x)$ 称为，其中 $p$，$q$ 为常数，$f(x)$ 为自由项
二阶常系数线性微分方程
\[y''+py'+qy=f(x)\]解的结构
\[y = \tilde{y} + y^*\]$\tilde{y}$ 是齐次方程 $y’‘+py’+qy=0$ 的通解 $y^*$ 是非齐次方程 $y’‘+py’+qy=f(x)$ 的特解
齐次方程的解
齐次方程的解系是 $e^{\lambda x} x^k$ 的线性组合
消去 $e^x$ 可得到特征方程 \(\lambda^2+p\lambda+q=0\)
$\lambda_1\neq\lambda_2$
- 若 $p^2-4q>0$
- 若 $p^2-4q<0$ 令 $\lambda = \alpha\pm\beta i$
由欧拉方程有 $e^{(\alpha\pm\beta i)x} = e^{\alpha x}e^{\pm\beta x i} = e^{\alpha x}(\cos\beta\pm\sin\beta i)$
\[y= e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\]note：对于对于实数解 $C_1,C_2$ 是实数
$\lambda_1=\lambda_2$
此时有 $p^2-4q=0$
\[y= (C_1+C_2x)e^{\lambda x}\]
非齐次方程的特解
对于
\[f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}\] \[y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k\] \[k=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \alpha\text{不是特征根} \\ 1， & \alpha\text{是单特征根} \\ 2, & \alpha\text{是二重特征根} \end{array}\right.\]对于
\[f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]\] \[y^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos\beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin\beta x]x^k\] \[l=\max\{m,n\}\\ k=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \alpha\pm\beta i\text{不是特征根} \\ 1， & \alpha\pm\beta i\text{是特征根} \\ \end{array}\right.\]最后求导代回原式得到系数值。
e.g. \(\begin{align*} f(x)=&e^{7x}[(x^2+3x)\cos4x+(x+6)\sin4x]\\ y^*=&e^{7x}[(A_1x^2+B_1x+C)\cos4x+(A_2x^2+B_2x+C)\sin4x] \end{align*}\)
欧拉方程
\[x^2y''+pxy'+qy=f(x)\]通过 $x=\pm e^t$ 换元将其转换为二阶常系数微分方程
使用换元法$x=e^t$将欧拉方程换为二阶常系数非齐次线性方程。
当$x>0$时，令$x=e^t$，则$t=\ln x$ $\dfrac{\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\dfrac{\textrm{d}t}{\textrm{d}x}=\dfrac{1}{x}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}$
$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}x^2}=\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(\dfrac{1}{x}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}+\dfrac{1}{x}\dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left(\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}\right)=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}+\dfrac{1}{x^2}\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}t^2}$
方程化为$\dfrac{\textrm{d}^2y}{\textrm{d}t^2}+(p-1)\dfrac{\textrm{d}y}{\textrm{d}t}+qy=f(e^t)$，解出结果，组后用$t=\ln x$回代。
当$x<0$是，令$x=-e^t$，同理可得。